Série : expression de la somme des termes d'une suite
Définition :
Soit \((u_k)_{k\geqslant0}\) une suite de nbres complexes
Alors la suite $$S_n=\sum^n_{k=0}u_k$$ s'appelle la série de terme général \(u_k\) et on la note par la somme infinie \(\sum_{k\geqslant0}u_k\)
Le terme général de la série \(\sum u_k\) est la suite \((u_k)_k\)
(Suite réelle)
Définition :
Si \(S_n=\sum_{k\geqslant0}u_k\) est une série, alors la suite \((S_n)\) s'appelle la suite des sommes partielles
(Suite réelle)
Définition :
On appelle reste de la série \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}u_n\) la suite $${{R_N}}={{\underbrace{\sum^{+\infty}_{n=0}u_n}_S-\underbrace{\sum^{+\infty}_{n=0}u_n}_{S_N}=\sum^{+\infty}_{n=N+1}u_n}}$$
Remarque :
On a $$\lim_NS_N=S\implies\lim_NR_N={{0}}$$
Série à termes positifs
Série arithmétique
Série géométrique
Série alternée
Série entière
Série commutativement convergente
Série convergente
Série absolument convergente, Série semi-convergente
Série de Cauchy - Produit de Cauchy
Permutation des termes d’une série
Théorème de Mertens
Propriété :
Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent, et si \(\lambda\in{\Bbb R}\), alors $${{\sum(\lambda u_n+v_n)}}={{\lambda\sum u_n+\sum v_n}}$$
(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Théorème :
Soit \(u_n\geqslant0\) et \(v_n\geqslant0\)
Si $$w_p={{\sum_{m+n=p}u_nv_m=\sum^p_{n=0}u_nv_{p-n} }}$$
Alors $${{\sum^{+\infty}_{p=0}w_p}}={{\left(\sum^{+\infty}_{n=0}u_n\right)\left(\sum^{+\infty}_{n=0}v_n\right)}}$$
Corollaire :
Soit \(u_n\) et \(v_n\) des suites de signe quelconque
Si les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont absolument convergentes, alors $${{w_p=\sum_{n+m=p}u_nv_p}}={{\left(\sum_{n}u_n\right)\left(\sum_mv_m\right)}}$$
Série arithmétique
Série géométrique
Série harmonique
Série entière
Série de Fourier
Série exponentielle
Série harmonique alternée
Série de Laurent
Série de Riemann
Série de Bertrand
\(\sum\frac{\cos n}{n^\alpha}\) et \(\sum\frac{\sin n}{n^\alpha}\) convergent et sont absolument convergentes si \(\alpha\geqslant1\)
$${{S_{n+1}-S_{n}}}={{u_{n+1} }}$$
$$\sum^\infty_{n=1}{{\frac1{n^2} }}={{\frac{\pi^2}6}}$$